(Krótki traktat w hołdzie królowej nauk, a równocześnie ich wielkiej służącej)

Wielu z nas myśli, że naszym ludzkim światem rządzi pieniądz. Takie myślenie jest tylko dowodem krótkowzroczności, a u niektórych wynika być może z nielubienia matematyki. Nie zdajemy sobie sprawy, że przecież nami (i naszymi pieniędzmi), i przyrodą, w której żyjemy, i Wszechświatem, którego do końca nie rozumiemy, rządzi matematyka. Nie jestem matematykiem, był też czas w szkole podstawowej, kiedy nie przepadałem za jej uczeniem się.

Przekonania do matematyki nabrałem dopiero w technikum (nie przyznam się w jakim, bo później porządnie wyuczony zawód zdradziłem). Zmiany mojego stosunku do matematyki nie sprawiła jednak sama matematyka ale fizyka, a właściwie to nie fizyka tylko nauczyciel fizyki i podręcznik „Zbiór zadań z fizyki” W. Zillingera. Dzięki doskonałemu pedagogowi polubiłem fizykę; nie było wyjścia – musiałem też polubić matematykę.

Jest to oczywisty dowód, że fizyka potrafi pobudzać matematykę (gdzieś to już czytałem). Ponieważ kierunkowym wektorom powinny odpowiadać „z natury rzeczy” ich przeciwnie skierowane antywektory, powinno być oczywiste że również matematyka pobudza fizykę. I tu zaistniał u mnie problem – co jest ważniejsze fizyka czy matematyka? Na studiowanie żadnego z tych kierunków nie zdecydowałem się, uznając je za zbyt głębokie i zbyt trudne dla mnie. Żeby jednak te dyscypliny uszanować i pogodzić, wybrałem politechnikę, tylko że z odchyleniem na kierunek „bio”.

Tak, na uczelniach technicznych coś takiego istniało i nadal istnieje; jest to biotechnologia. Udało mi się połączyć trzy w jednym. Wybór równoległego pogłębiania (nadal uważam, że zbyt płytkiego) wiedzy z tych trzech dyscyplin, nie był przypadkowy. W dużej mierze był podyktowany pomysłem, że może jednak najważniejsza dla człowieka jest właśnie biologia. Moim życiem zawodowym rządził triumwirat bio-fiz-mat.

Nie ująłem w tym zestawieniu chemii, chociaż na moim politechnicznym wydziale również należała do podstawowych dyscyplin. Mój stosunek do tej dyscypliny jest jednak pozytywno-negatywny. Pozytywny, bo bez niej nie byłoby szans poznawania życia i procesów biologicznych. Technologia chemiczna bardzo też zmieniła nasze życie dostarczając niezliczonych produktów – od ubrań po leki. Negatywny, ponieważ ta niezwykle efektywna technologia od połowy XX wieku, zatruwajac glebę, wodę i powietrze niszczy nasze naturalne biologiczne środowisko. Niemal do symbolu negatywnych skutków, jakie przyniosła chemia, urastają wszechobecne plstikowe śmieci.

Zawodowo pracowałem z komórkami i tkankami organizmów żywych, opisywałem ich aktywność modelami matematycznymi, a będąc inżynierem budowałem dla nich bioreaktory. Było ciekawie. Teraz, w późnych latach emeryckiego życia postanowiłem jednak wrócić do mojego wcześniejszego dylematu, i napisać „coś” o matematyce. Zastanawiam się jednak, jakim prawem wypowiadam się na temat matematyki (i fizyki )nie będąc ani matematykiem ani fizykiem. A no takim, że pozwala mi na to ludzka natura osadzona w szarych komórkach mojego mózgu. W świecie organizmów żywych ludzki mózg jest wyjątkowy; pozwala człowiekowi na uzurpowanie (przyznawanie sobie) prawa do wypowiadania się na każdy temat, niezależnie od stanu posiadanej wiedzy czy jej braku. Często prowadzi to do absurdów. Czyżby u mnie też tak było?

Okazuje się, że problem relacji między matematyką i fizyką rozwiązał już na przełomie XVII/XVIII wieku genialny uczony Isaac Newton, stawiany wśród najtęższych umysłów wszechczasów obok Alfreda Einsteina. Newton uprawiał liczne dyscypliny naukowe, a przede wszystkim fizykę (teoretyczną i doświadczalną), matematykę, astronomię, filozofię. Inne dyscypliny, którymi się zajmował pominę, ponieważ nie wiążą się z tematem. W rozważaniach teoretycznych, tworząc prawa i modele opisujące zjawiska i procesy przyrodnicze, Newton zastosował aparat matematyczny. Nie wiem jak na to wpadł. Może został oświecony przez spadajace na jego głowę jabłko? A że był także filozofem, wydał wielkie dzieło „Matematyczne zasady filozofii naturalnej”. Tytuł tłumaczy, że filozofię traktował podobnie jak archaiczni filozofowie greccy, jako obszar obejmujący całą ówczesną naukę. W języku angielskim najważniejszy używany do dzisiaj stopień naukowy PhD (Doctor of Philosophy) znaczy tyle co doktor nauk, i może dotyczyć doktoratu w zakresie dowolnej dyscypliny naukowej.

Genialnym osiągnieciem Newtona jest obowiązujące w całym wszechświecie (sami bezpośrednio odczuwamy to na Ziemi) prawo powszechnego ciążenia, dla którego podał model matematyczny. Stwierdził, że każdy obiekt we wszechświecie przyciąga każdy inny obiekt z siłą, która jest wprost proporcjonalna do iloczynu ich mas i odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości między ich środkami. Jak on na to wpadł, przecież opracowana przez niego teoria grawitacji była czystą matematyką teoretyczną. Nie zgadzało się to zresztą z empirycznymi wynikami badań królewskiego astronoma Johna Flamsteeda, który twierdził, że prawdziwe są tylko jego wyniki doświadczalne, a nie teoretyczna praca Newtona, która fałszuje doświadczalną rzeczywistość. Wkrótce okazało się, że dane uzyskane przez Flamsteeda w pierwszych doświadczeniach były obarczone znacznymi błędami. Na pohybel Flamsteedowi, kolejne eksperymenty wykazały, że prawdziwe jest równanie zaproponowane przez Newtona. Czy ktoś wie, jak on to wymyślił. Ale nie tylko to; jak Newton wymyślił też całki i różniczki?

Prawda matematyczna dotyczy nie tylko teoretycznych prac Newtona. Na początku XX wieku, kiedy rodziła się mechanika kwantowa, Paul Dirac podał matematyczny model funkcjonowania ruchomych elektronów w atomie, zgodnie z którym musi w nim funkcjonować również cząstka będąca przeciwieństwem elektronu (antyelektron). Tę nieznaną wówczas cząstkę antymaterii – pozyton, odkrył dopiero w roku 1931 Carl David Anderson. Myślę, że Dirac miał łatwiejsze zadanie niż Newton, ale znowu pytanie – jak on wymyślił matematyczny model funkcjonowania w atomie elektronów? Już choćby tylko w oparciu o te dwa przypadki moja propozycja tytułu tego wpisu „Matematyka rządzi” wydaje się być jak najbardziej uzasadniona. Ale powodów jest cała masa.

Co ciekawe, fizyczne zjawiska, procesy i zdarzenia, których nie można stwierdzić narzędziami fizyki, a na podstawie pośrednich przesłanek wiadomo że istnieją, da się opisać modelami matematycznymi. Przykładem są czarne dziury, ciemna materia, antymateria czy też ciemna energia we Wszechświecie. Matematyka stała się wiąc podstawowym narzędziem, tak w opisie ziemskiej przyrody (czy jak kto woli – natury), jak i w opisie całego Wszechświata. Są autorzy, którzy piszą o matematycznym uniwersum (wszechświecie). Czy matematyka jest atrybutem funkcjonowania jedynie świata materialnego? Otóż nie, ale o tym będzie dalej.

Wielkim walorem matematyki jest to, że jako dyscyplina z gruntu teoretyczna, tworząc modele funkcjonowania świata, może posługiwać się idealizacjami. Można mieć wątpliwości na temat idealności Wszechświata, a tym bardziej w odniesieniu do nieco lepiej znanego nam świata ziemskiego. Nie, nasz ziemski świat nie jest idealny, ale tu zastanawiam się na ile z winy człowieka. Można też zapytać, czy przyroda jest matematyczna, czy struktura wszechświata, w tym ziemska przyroda mają naturę matematyczną? Na styku matematyki, fizyki, astronomii, i ogólnie – przyrody rodzi się kolejne pytanie – czy matematyka istnieje niezależnie od stopnia naszego jej poznania, czy może jest tylko wytworem ludzkiego umysłu?

Matematyka jest wykorzystywana do najbardziej fundamentalnego opisu struktury i mechaniki funkcjonowania świata. Materia Wszechświata, a zatem i cała ziemska przyroda, nie mogłaby istnieć bez stosownych praw, a te przecież dają się opisać w formie matematycznej. Nie, chyba nie wszytkie. Matematyka jest jednak oczywistym atrybutem materialnego świata. Mówi się czasem o nadwyżkowości matematyki nad fizyką i całą przyrodą. Wolałbym mówić raczej o jej nadrzędności. Nazewnictwo nieważne; takie czy inne, skłania do twierdzenia, że matematyka istnieje „od zawsze”, istnieje niezależnie od naszego poznawania prostoty lub złożoności formułowanych jej modeli, a jednocześnie istnienia różnych jej zawiłości. Nadal jednak nie wiem, czy człowiek ją tylko odkrywa czy też ją tworzy.

Kiedy zatem zaczęliśmy odkrywać/tworzyć matematykę? Przecież pierwotne kultury jej nie znały i nadal jej nie znają (bo nie potrzebują) prymitywne plemiona Amazonii czy żyjący na Nowej Gwinei Papuasi. Zatem naszą, ludzką matematykę „zrodziła” dopiero nasza potrzeba cywilizacyjna. Prawdopodobnie stało się to najwcześniej przed 4-5 tysiącami lat w świecie Sumerów na obszarze Mezopotamii. Jednak dopiero greccy filozofowie (Pitagoras, Euklides) rozwinęli matematykę teoretyczną na dość wysokim poziomie. Pitagoras, chyba jako pierwszy, zaproponował opisywanie świata liczbami. Filozof podał też matematyczne fundamenty muzyki. Pitagorasowi przypisuje się powiedzenie, że „wszystko jest liczbą”. Euklides sprecyzował to podobnie uznając, że świat ma formę matematyczną, a także powołał do życia geometrię.

Tu chyba znajduję odpowiedź na pytanie, czy matematykę odkrywamy czy ją tworzymy. Zgadzając się z Euklidesem, matematyka istniała przed pojawieniem się człowieka, a nawet Ziemi czy naszej galaktyki Drogi Mlecznej. My matematykę odkrywamy i używamy jej do opisu fizycznie istniejącego świata. Ale zaraz, przecież także wymyślamy teoretyczne problemy matematyczne, i bywa, że udaje się te wyimaginowane problemy rozwiązać. Piszę „my”, ale odnosi się to raczej tylko do wybranych Homo sapiens – od starożytnych filozofów począwszy (zwłaszcza greckich, choć nie tylko) do największych umysłów nowożytnych, takich jak Izaak Newton, Alfred Einstein czy Stephen Hawking i cała rzesze im podobnych.

Kultury Wschodu były pod tym względem opóźnione, chociaż w praktyce Chińczycy też umieli posługiwać się liczeniem. Najtrudniej było chyba z przebiciem się do matematyki liczby/cyfry zero (0). Powołanie „do życia” tej niezwykle ważnej dzisiaj cyfry, pierwotnie jako liczby na określenie nicości, nastąpiło dopiero około tysiąca lat po działalności archaicznych greckich filozofów. Stało się to w Indiach na początku VII wieku n.e. Jakże ważna okazała się cyfra „zero” później – w dobie bankowości, a następnie w dobie informatyki, gdzie jest to jedna z dwóch najważniejszych cyfr numerycznego świata wirtualnego. To ciekawe, że właśnie na teranie Indii nastąpił kolejny krok w rozwoju matematyki. Został tam opracowany nasz podstawowy matematyczny system dziesiętny, tam też powstały symbole graficzne do zapisu cyfr. Używane na całym świecie cyfry, uważane za „arabskie”, mają swój hinduski rodowód. Hindusi operowali ułamkami, liczbami ujemnymi, a nawet pierwiastkami kwadratowymi i sześciennymi. A kto dzisiaj robi oprogramowania dla Microsoftu?

Jeżeli wierzymy modelom matematycznym, to postawmy pytanie czy matematyka jest dokładna? Wydawać by się mogło, że jest najdokładniejsza ze wszystkich nauk. Niestety nie zawsze. Obok obszaru matematycznej dokładności istnieją obszary matematycznej niedokładności, jak choćby niezwykle ważna w wielu obliczeniach wartość liczby pi (π). Jest to ułamek dziesiętny nie mający wartości skończonej, jest zatem niedokładny. Nie szkodzi, w zastosowaniu do różnych obliczeń geometrycznych wystarczy wartość przybliżona, nawet tylko do drugiego miejsca po przecinku. Poza tym w matematyce mamy korelacje, rachunek prawdopodobieństwa, różniczkowy i całkowy, macierze, grafy. Bez wykorzystania tych obszarów matematyki nie byłoby współczesnej wiedzy inżynierskiej, technicznych konstrukcji czy niezwykle efektywnie pracujących komputerowych procesorów. Najciekawsze dla mnie jest jednak potoczne używanie matematycznego wyrażenia „liczy się” w odniesieniu do stwierdzenia, że coś jest ważne, choćby np. „liczy się to, że otrzymałem emeryturę”. 😊

Sygnalizowałem wcześniej, że matematyka rządzi nie tylko materią. Oto powszechnie funkcjonujący przykład spoza świata materialnej przyrody – matematyka rządzi ekonomią (mamy tu ekonometrię). My sami matematycznie kontrolujemy nasze życie, choćby dlatego, że tak skrupulatnie liczymy pieniądze. Znowu te pieniądze – jak ja ich nie lubię. Dawniej można był twierdzić, że pieniądz jest materialny, ponieważ posługiwano się banknotami i monetami. Nieprawda – były to tylko materialne symbole bytów niematerialnych, wymyślonych dla potrzeb człowieka. Dowodem na to są teraz nasze pensje i emerytury wpływające na bankowe konta oraz wszelkie finansowe transakcje, łącznie z płatnościami w kasach sklepowych. Mam pieniądze, ale ich nie widzę – doskonały przykład niematerialnego bytu. Bytem niematerialnym jest zresztą coś znacznie ważniejszego niż pieniądz – to czas, o którym mówimy, że go mamy albo, że go nie mamy. Ale czy ktokolwiek z nas widział czas? Podobno widział go A. Einstein, i to dlatego opracował teorię czterowymiarowej czasoprzestrzeni. Gdzieś czytałem, że teraz niektórzy kosmologowie piszą o jedenastowymiarowej przestrzeni wieloświata. Nieważne; ważne jest tylko to, że czas podlega matematyce i można go mierzyć.

Jak widać matematyczność dotyczy, obok świata realnego, także bytów formalnych – pojęciowych, a tych człowiek stworzył ilość niepoliczalną. O proszę – napisałem „ilość niepoliczalną”, zatem od razu odwołanie do matematyki. Dzisiaj w naszym życiu króluje jeszcze inny niematerialny byt matematyczny – wirtualny świat informatyczny. Dotyczy to nawet podstawowej formy komunikacji – języka. W świecie wirtualnym, obsługiwanym przez komputery, język jest zmatematyzowany – przecież litery i słowa zapisywane są w systemie zero-jedynkowym. Światowi wirtualnemu postaram sie jeszcze kiedyś „dowalić”.

W tym miejscu należy jednak uczcić dokonania polskiego matematyka Stefana Banacha, w zasadzie samouka, który miał swój fundamentalny udział w stworzeniu lwowskiej szkoły matematycznej. Podobnie jak u Pitagorasa, świat według Banacha był całkowicie matematyczny. Jego teoretyczna matematyka określana jest jako analiza funkcjonalna, jakby przepowiadająca nadejście wkrótce wirtualnego świata cyfrowego. Opracowanie technologii komputerowej umożliwiło niezwykle dynamiczny rozwój analizy funkcjonalnej w wersji cyfrowej.

Tu dopiero matematyka pokazała swój ogromny potencjał w zastosowaniach praktycznych. komputery okazały się przydatne w rozwoju nauki, technologii oraz w naszym życiu prywatnym. Cyfrowa analiza funkcjonalna pozwoliła na przejście od matematycznego opisu „wszystkiego”, do matematycznego projektowania „wszystkiego”. Komputerowe procesory pracują w oparciu o różniczki, całki i grafy. No właśnie – grafy. W teorii grafów wykorzystuje się ilościowe relacje miedzy dowolną układanką badanych elementów. Nasi „starsi informatyczni bracia” – media społecznościowe, takie jak Google czy Meta Platforms (wcześniejsza nazwa „Facebook”), działają w oparciu o dynamicznie funkcjonujące grafy z wykorzystaniem sztucznych sieci neuronowych na wzór pracy ludzkiego mózgu.

„Starsi bracia” bardzo pomagają nam we współczesnym dynamicznym życiu, ale nie ma nic za darmo. „Bracia” być może wiedzą o nas więcej niż my sami pamiętamy. Co gorsze, umożliwiają wykorzystywanie tej wiedzy firmom, agencjom i służbom bez naszej zgody albo za wymuszona zgodą. Wcześniej dominował tu chyba Facebook – Meta Platforms. Kto i jak wykorzystuje wiedzę o naszej aktywności? Nie wiemy, ale przecież nie chcemy tego. To jest jednak nieuniknione, chyba że zrezygnujemy z komputera, smartfona, aktywności bankowej w Internecie. Nie zrezygnujemy.

Wróćmy jednak do rzeczy widzialnych. Robimy i oglądamy zdjęcia czy oglądamy telewizję; zwykle nie zdając sobie sprawy, że dzisiaj dzieje się to dzięki olbrzymiemu rozrostowi naszego cyfrowego (czyli matematycznego) świata. Przy okazji wzmianki o odbiorze cyfrowych przekazów zwróćmy uwagę, że poza salą koncertową muzykę słuchamy z zapisów zarejestrowanych cyfrowo. Ale to nie wszystko; muzyka sama w sobie jest oparta o matematykę. Zapis muzyczny operuje całymi nutami, połówkami, ćwiartkami, ósemkami, szesnastkami, a do tego uwzględnia jeszcze wysokość dźwięku. Zatem jest to zapis w pełni matematyczny. A czy harmonia i systemy tonalne, rytm i kontrapunkt w muzyce nie mają natury matematycznej? Matematyczne fundamenty muzyki odkrył już Pitagoras w VI wieku p.n.e. Od przekonania, że muzyka jest matematyką, łatwo jest dojść do podejrzenia, że jest również odwrotnie – że matematyka jest muzyką.

Podsumowanie

Można się zastanawiać czy matematyka istnieje niezależnie od ludzkiej percepcji i opisu świata, tak materialnego jak i wyimaginowanego, a tym bardziej niezależnie od naszej znajomości czy nieznajomości jej zagadnień i obszarów, które obejmuje. Jeżeli tak właśnie jest, to nie tylko znana nam materia, ale i cały Wszechświat ma naturę matematyczną. Czasem matematyka opisuje poznawaną przez nas rzeczywistość bardzo dokładnie (mechanika newtonowska), ale czasem tylko w formie prawdopodobieństwa (mechanika kwantowa), nawet prawdopodobieństwa śladowego.

Tu mogłyby się więc rodzić wątpliwości co do matematycznej natury naszego realnego świata. Ale przecież mamy jeszcze tzw. matematykę czysto teoretyczną. Można zatem uznać, że matematykę również tworzy się do rozwiązywania problemów abstrakcyjnych. No i niezwykle ważne – człowiek stworzył całkowicie matematyczny świat wirtualny oparty o zaledwie dwie cyfry – jedynkę i zero. Nie jest zatem ważne czy świat jest z natury matematyczny albo czy matematyka jest wytworem ludzkiego umysłu. Wystarczy, że człowiek poznaje możliwości, jakie matematyka niesie w sobie i umie je wykorzystać.

No to w jakim właściwie świecie żyjemy? Okazuje się, że żyjemy w dwóch światach – w tym „namacalnym”, istniejącym fizycznie (widzianym, słyszanym, dotykanym, mierzonym), ale także w istniejącym tylko w naszym umyśle (abstrakcyjnym, wyimaginowanym). A doskonałym spoiwem tych dwóch światów okazała się być matematyka. Czy jedynym?

I ostatnie stwierdzenie – matematyka jest powszechnie uważana za królową dyscyplin naukowych, ale równocześnie jest przecież ich sługą. Tak właśnie powinien funkcjonować nasz ludzki świat – królowe, królowie i wszyscy inni rządzący powinni być sługami rządzonych narodów. Tylko, że u Homo sapiens chyba tak się nie da.